Przejdź do zawartości

Metoda Romberga

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Metoda Romberga – jedna z metod całkowania numerycznego, opierająca się na metodzie ekstrapolacji Richardsona, pozwalająca przybliżać wartość całki:

nieznanej (jawnie) funkcji Funkcja ta jest zazwyczaj znana tylko na dyskretnym zbiorze argumentów (np. jako wynik pomiarów stanu urządzenia (wartość funkcji) dla różnych stanów (argument funkcji)).

Niech dany będzie zbiór dzielących przedział na równych części taki, że znane są wartości funkcji

Niech oznacza długość kroku.

Metodę Romberga można opisać rekurencyjnie:

jest wzorem trapezów, po obliczeniu pierwszej kolumny tzw. tablicy Romberga, kolejne kolumny obliczane są rekurencyjnie, otrzymując coraz lepsze przybliżenie funkcji:

Przykład wykorzystania metody Romberga

[edytuj | edytuj kod]
Wizualizacja elementu numer 1 tabeli algorytmu Romberga, który powstał z dwóch wyliczeń całek metodą trapezową – dla 1 i 2 przedziałów

Załóżmy, że dane są wyniki pomiarów pewnej funkcji w punktach

0 1 2 3 4
0 0,25 0,5 0,75 1
1 2 2 0 1

Dla tego przypadku:

Ponieważ poszukiwana będzie tablica Romberga typu:

Obliczenie pierwszej kolumny tablicy Romberga:

Oraz kolejnych wyrazów korzystając z poprzednich wyników:

Błąd metody Romberga

[edytuj | edytuj kod]

Oznaczając błąd, tj. przekłamanie wyniku otrzymanego metodą Romberga względem wyniku prawdziwego w notacji dużego O wynosi (Mysovskikh 2002)[1]

dla wyrazu R(n,m).

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. I.P. Mysovskikh: Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, 2002. ISBN 1-4020-0609-8.